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韩信点兵:有兵一队,若列成五行纵队,则末行一人,成六行纵队,则末行五人,成
这个问题是韩信点兵
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布 我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
韩信是如何凭借交换队列的方式及三个余数，快速算出了士兵的总数的呢？
其实，韩信根本不是什么“神仙下凡”，也不是有什么“神机妙算”的法术。他算得快，算得准，是因为他掌握了这一类问题的求解方法与技巧。
这类问题就是著名的“孙子算经”和“中国剩余定理”所解决的问题。
我国古代数学名著《孙子算经》中，提出了闻名于世的“物不知数”问题。原文是
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”
书中还给出了其解法。韩信就是根据这个问题的解法推算出将士的准确数字的。
下面我们来研究这个问题的解法。
(Ⅰ)“笨”算法
原来的问题题意是 求一数，三除余二，五除余三，七除余二。这问题太容易回答了 因为以3除余2，以7除余2的数，以21除也余2，而23是以3，7除余2的最小数，它刚好又是以5除余3的数。所以心算快的人很快就能算出。
我们再来解决另一个问题吧！
“三除余二，五除余三，七除余四，求原数”。
下面先介绍解决这一问题的“笨”算法
在算盘上先打上(或纸上写上)2，每次加3，加到以5除余 3的时候暂停下来，再在这个数上每次加15，到得出以7除余4的数的时候，就是答数。具体地说 从2加3，再加3得，即
2，2＋3=5， 5＋3=8．
它是以5除余3的最小数，然后在8上加15，再加15，第三次加15，得53，即
8，8＋15=23，23＋15=38，38＋15=53．
经过验算，53用3除余2，5除余3，7除余4，所以53就是符合要求的最小数。
这个方法的道理是什么呢？很简单 先从以3除余2的数中去找以5除余3的数，再从“3除余2，5除余3”的数中去找7除余4的数，如此而已。这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法，是一个值得推荐的、朴素的方法。
上述问题的解答，不但53有此性质，而53＋105=158，158＋105=263都有此性质，因此，问题的确切提法应当是 求出三除余二，五除余三，七除余四的最小的正整数。
我们再介绍一个麻烦得多的问题。原文如下
“今有数不知总。以五累减之无剩，以七百十五累减之剩十，以二百四十七累减之剩一百四十，以三百九十一累减之剩二百四十五，以一百八十七累减之剩一百零九。问总数若干。”
看来问题比较麻烦，但通过细心观察，有窍门可找。你看 第一句“以五累减之无剩”其实是多余的，因为这个数以715除余10必定是5的倍数。第三句话“以247累减之剩140”，就是说此数减去247的若干倍后还余140，140是5的倍数，此数也是5的倍数，那么减去的247的倍数也应是5的倍数。因此这句话可改为“以247×5=1235累减之剩140”。同样第四句话也可改为“以391×5=1955累减之剩245”。
现在我们可以完全仿照前面的方法进行计算，从245逐次加1955，直至得到的数用1235除余数为140止。计算过程如下
逐次加1955 245，2200，4155，6110，8065，10020．用1235去除的余数965，450，1170，655，140．
最后得到10020满足这两项要求。经检验10020的确符合全部条件，它就是我们要求的数。
下面再看一个古算题。
“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。”
首句与末句条件合起来是“18除余13”，再由
13，13＋18=31，31＋18=49，49＋18=67，
67是五除余2的数，再由
67，67＋5×18=67＋90=157．
经检验，157符合全部条件 以2除余1，以5除余2，以7除余3，以9除余4，所以157就是解答了。
(Ⅱ)古代的口诀解法
程大位著的《算法统宗》，对“物不知其数”的问题(见P．44第6行)的解答方法用下面的口诀标出
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。”
它的意义是
以70乘用3除的余数2，21乘用5除的余数3，15乘用7除的余数2，然后总加起来。如果它大于105，则减105，若仍大再减，……最后得出来的正整数就是答数了。
它的形式是
2×70＋3×21＋2×15=233，
两次减去105，得23，这就是答数了。
为什么70，21，15有此妙用？这70，21，15是怎样求出来的？
先看70，21，15的性质 70是这样一个数 用3除余1，5与7都除得尽的数，所以70a是一个用3除余a而5与7除都除得尽的数。21是用5除余1，3与7除得尽的数，所以21b是用5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是用7除余c而3与5除得尽的数。总起来
70a＋21b＋15c
是一个3除余a，5除余b，7除余c的数，也就是可能的解答之一，但可能不是最小的。这数加减105后都仍然有同样的性质，所以可以多次减去105而得出解答来。
在程大位的口诀里，前三句的意义是点出3，5，7与70，15，21的关系，后一句说明为了寻求最小正整数解还须减105，或再减105等。
这个方法是很好的。但是如何找出这70，21，15三个数呢？可用凑的方法
在算盘上先打上35，它不是用3除余1，再加上35，得70，它是用3除余1了。其它可仿此求出。
现在我们可以来揭示“韩信点兵”的秘密了
我们容易看出 韩信在点兵布阵时，士兵3人一排多出2人，就是士兵的总数被3除余2；5人一排多出3名，就是士兵数被5除余3；7人一排多出2名，就是士兵数被7除余2．
3，5，7的最小公倍数是105，所以105，105×2，105×3，…，105×10等等，都能被 3，5，7整除。而韩信根据“物不知其数问题”知道满足条件“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的最小正整数23，并且他还知道自己的兵力略多于1000人，于是就迅速地算出了确切的士兵数
105×10＋23=1073(人)．
现在再将口诀解法推广一下。先回顾口诀
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”。用现代术语翻译，其口诀实际上是
N=70r1＋21r2＋15r3-105p，
其中ri(i=1，2，3)分别是余数，p是使N＞0的任一整数。
以上方法可以概括成更普遍的式子
若某数N分别被称为定母的d1，d2，d3，…，dn除得的余数为r1，r2，r3，…，rn，则
N=k1r1＋k2r2＋k3r3＋…＋knrn-pq，
其中k1是d2，d3，d4，…，dn的公倍数，且被d1除余1；k2是d1，d3，d4，…，dn的公倍数，且被d2 除余1；…kn是d1，d2，d3，…，dn-1的公倍数，且被dn除余1．p是任意整数，q是d1，d2，d3，…，dn的最小公倍数。
上式实际上是一条定理，而其关键又在于“求一”，即求“一个数的多少倍除以另一数，所得余数为1”的方法，也即求出公式中的“ki”．
这个方法的研究，是由我国宋代著名数学家秦九韶(约1202～1261)在其名著《数书九章》一书中完满解决的。他把它称作“大衍求一术”。类似的理论成果，在欧洲直到18，19世纪才由著名数学家欧拉和高斯获得，最早出现在高斯1801年出版的《算术研究》一书里。而这，已是秦九韶之后500多年的事了。因而，上述成果被称为“中国剩余定理”，或“孙子定理”。
现在，让我们也来当一回韩信吧！假如让士兵1至5报数，1至7报数，1至9报数，值日军官告诉我们余数分别是3，2，2．算一算士兵有多少。
显然，问题的提法与“韩信点兵”的传说中变换队列的方法是一致的。它的定母为d1=5，d2=7，d3=9，余数为r1=3，r2=2，r3=2．因为k1是7与9的公倍数且以5除余1的数，经计算知k1=126，类似地知，k2=225，k3=280，q=315．取p=4，则
N=k1r1＋k2r2＋k3r3-pq
=126×3＋225×2＋280×2-4×315=128．
N＝128，只不过是个符合条件的最小的数。假若要学“韩信将兵，多多益善”的话，我们可以在“128×n”(n为自然数)中任意取值。
此题这样列式 1386*1+385*5+330*4+210*10-2310*p
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简介
华夏文明博大精深，而在历史的长河之中，涌现了不少的英雄儿女，其中作为兵家四圣代表之一的韩信，充满了神秘感，让后人十分想了解其，本书着重的勾画韩信，使得一代兵神活灵活现。
《三国演义》剧情介绍
东汉末年，宦官当权，民不聊生。灵帝中平元年，张角兄弟发动黄巾起义，官军闻风丧胆。为抵抗黄巾，幽州太守刘焉出榜招兵。当时，刘备、关羽、张飞都去看那招兵榜文。那刘备是中山靖王之后，汉景帝阁下玄孙，身长七尺五寸，虽然沦落下层，以贩麻鞋、织席为业，但不失龙子龙孙的风采。关羽身长九尺，髯长二尺，面如重枣，唇若涂脂，一身英气，只因杀死富豪，正流浪江湖。张飞身长八尺，豹头环眼，燕颔虎须，声若巨雷，势如奔马，以卖酒杀猪为业，并在本地有一所庄子。三人萍水相逢，但都有为国出力之心，所以一见如故，被张飞拉到自家庄后的桃园饮酒。最后三人对天盟誓，结拜为弟兄，一道去投了刘焉。刘关张从军后就显示出非凡的才能，他们一败黄巾于琢郡，二败黄巾于青州。不久，又救出被张角打败的董卓，但董卓见刘备是白身，并不答谢。张飞大怒，要斩董卓，被刘备劝住。
刘关张与朱俊、孙坚进攻黄巾，大胜。朱俊、孙坚皆受封赏，只有刘备被冷落。过了很久，刘备才被封为定州中山府安喜县尉。到任四月，督邮来县巡视，刘备出城迎接，极为谦恭。而督邮却非常傲慢，开始时痛斥刘备诈称皇亲，虚报功绩；接着，见刘备无礼物奉送，就捏造“县尉害民”之罪，存心陷害。张飞知道实情后，大怒，骑马来到馆驿，挣督邮头发揪住，扯出馆驿，一直扯到县衙门前马桩上拴住，当着众多百姓，扯下柳条，往督邮两腿上狠力鞭打，一连打断了十几根柳条。督邮疼痛难忍，大叫 “玄德公救我性命！”刘备赶来，急喝张飞住手，督邮方得逃命而去。事后，刘关张三人往代州投了刘恢。不久，参加平定渔阳之战，刘备因立功被任为平原令，开始有了一支人马。
中平六年，汉灵帝死，少帝继位，为外戚大将军何进所制。十常侍诱杀何进，袁绍等领兵诛杀宦官，西凉刺史董卓趁机进兵京师、驱逐袁绍、灭丁原收吕布、废少帝立献帝，专权朝野，并毒死刘辩。满朝文武哭哭啼啼，对董卓无可奈何。可曹操却抚掌大笑，挺身而出，表示愿亲自前往谋刺董卓。计定之后，曹操佩着司徒王允借给的七星宝刀来到相府，进入董卓所住小阁，见吕布侍立于旁，不敢下手。董卓叫吕布去挑马赐与曹操，吕布去后，董卓因胖大不耐久坐，于是倒身转向内卧于床上。曹操见机会已到，急抽出宝刀，待要行刺，不料董卓从衣镜中看见曹操在背后拔刀，迅速转过身子问道 “孟德干什么？”吕布此时也牵马来到阁外。曹操灵机一动，忙持刀跪下说 “我有宝刀一口，献与恩相。”董卓拿过宝刀，递与吕布收了。曹操马上解下刀鞘交与吕布，道 “我去试试恩相赐的马。”急牵马出相府，望东南逃去。当董卓、吕布醒悟过来要捉曹操时，他已远走高飞。
曹操从洛阳逃到中牟，被县令陈宫捉住。陈宫义释曹操，与他一道来到成皋，投宿吕伯奢家中。吕伯奢家人磨刀准备杀猪款待，曹操怀疑他们要杀自己，竟将吕伯奢全家杀害，并声称 “宁教我负天下人，休教天下人负我！”陈宫愤怒地离开了曹操。曹操只身前往陈留，拉起一支队伍，推袁绍为盟主，联合十七镇诸侯讨伐董卓。刘关张也参与了这次讨伐。曹操、袁术等八路诸侯与吕布对峙于汜水关，吕布部将华雄杀得联军损兵折将。这时，担任马弓手的关羽请求上阵，曹操令人斟上一杯热酒为关羽壮行。关羽出帐提刀，飞身上马，说道 “酒且斟下，我去便来！”只听得鼓声大振，喊声大作，不一会，关羽已跃马归来，提华雄头颅掷于地上，而酒还是热的。曹操大喜，犒赏刘关张。八路诸侯乘胜出击，刘关张三人合战吕布，群雄围攻，吕布大败，逃至虎牢关上。
董卓见吕布战败，盟军势大，烧洛阳，逼献帝迁都长安。盟军入洛阳，各起异心。孙坚在宫井中得到传国玉玺，率军返回江东。曹操与袁绍发生摩擦，去了扬州。盟军瓦解。接着军阀又开始火并。袁绍攻公孙瓒，被赵云所救。赵云本是袁绍部将，见袁绍无忠君救民之心，于是弃袁绍而投了公孙瓒，但不受重用。在江东，孙坚攻荆州，被刘表军士用乱箭射死。此时，司徒王允在长安设下连环计，让董卓和吕布为争夺歌妓貂婵而发生冲突，董卓被杀。董卓部将又反扑过来，杀了王允全家。在军阀混战中，青州黄巾又起，曹操前往收降了三十余万人，择精壮者编为青州军，其余军士放归务农，从此威名大振，朝廷封曹操为镇东将军，屯驻兖州。这时，曹操老父被黄巾降将所害，操为报父仇，尽起兵马亲讨降将新主徐州陶谦。刘备从公孙瓒处借赵云和兵马解救陶谦，曹操因吕布助张邈夺取兖州而退兵，徐州解围。陶谦三让徐州，刘备终受，暂管徐州军政事务。曹操与吕布混战，收复兖州。
建安元年，董卓部将发生内讧，汉献帝逃往洛阳曹操赶往保驾，迎汉献帝于许都，大权独揽。在此同时，父死而投奔袁术的孙策，以传国玉玺为抵押，借得袁术兵马，杀回江东，江东之民呼孙策为孙郎。其后不久，曹操出兵寿春，转战徐州，败袁术，杀吕布，官封中郎将、关内侯，威权更盛。献帝不甘心受控制，在衣带中放入诏书，令董承设计除掉曹操。刘备这时正依附曹操，也参与了预谋。为防曹操谋害，刘备于后园种菜，以为韬晦之计。一日，曹操青梅煮酒，请刘备在小亭对饮，论天下英雄只有刘备和他俩人。刘备听闻一惊，将筷子掉落在地上。幸好当时雷声乍起，刘备急中生智，沉着地俯身拾筷，说道 “一震之威，乃至于此！”巧妙地掩饰了过去。不久，刘备就以截击袁术为名脱离了曹操。
建安五年正月，当刘备在徐州灭掉袁术，将传国玉玺送与曹操时，董承被家奴告密，谋杀曹操之事败露。曹操大怒，杀了董承全家，并亲自率领20万大军进攻刘备。张飞献计劫寨，曹操早有准备，张飞败逃芒砀山，刘备只身逃往青州投靠袁绍。关羽被困于下邳，为保护刘备妻子甘、糜二夫人，他以只降汉帝，不降曹操为条件投了曹操。曹操班师回许都，让关羽同甘、糜二夫人同住一处，关羽则秉烛于门外，通宵伫立，待二位夫人甚为恭敬。曹操极欲招降关羽，待之甚厚，送美女，赐金银，三日一小宴，五日一大宴。但关羽拒绝了美女和金银，只受了所赐赤兔马。因为此马日行千里，待有了刘备下落，可以骑它迅速地去同刘备见面。
刘备去往青州后，劝袁绍出兵攻打许都。袁绍派颜良出兵，连折曹操两员大将。曹操令关羽出阵，关羽手起一刀，即将颜良砍于马下，害得刘备险些被袁绍杀掉。文丑为颜良报仇，也被关羽斩于马下。关羽被曹操表奏朝廷，封汉寿亭侯。不久，关羽得知刘备在袁绍处，于是带着甘、糜二夫人去寻刘备，一路闯过五关，斩六将，到了袁绍地盘，刘备却又去汝南投了刘辟。关羽继续前行，在卧牛山收了关西大汉周仓，前往古城，终于与张飞、刘备相会。三人计议结连荆州刘表以脱离袁绍。这时，孙策在江东被人射伤致死，其弟孙权继位，曹操奏封孙权为将军、会稽太守。
刘关张三人重会之后，曹操点兵迎击袁绍，两军相峙于官渡。袁绍不听许攸分兵袭击许都的建议，许攸弃袁绍而投曹操。曹操采纳许攸之计，领兵烧了袁绍在乌巢积屯的粮草，袁绍军大败，部下张郃、高览投降曹操。曹操乘胜追击，于仓亭再次大败袁绍。此时，刘备率兵进攻许都，曹操回师往汝南对敌刘备。刘备诸人败逃于汉江，投荆州刘表，驻守新野。这时，袁绍吐血而亡，曹操进而攻占冀州，随后用郭嘉之遗计平定了辽东，统一了北方。曹操班师，筑铜雀台于漳河之上，领兵回许都。
建安十二年春，甘夫人生阿斗。刘表染病，刘备赴荆州代为主持丰收祭典，刘表次子之娘舅蔡瑁因刘备反对刘表废长立幼欲借机杀之，刘备逃席而出，飞马越檀溪，躲过一劫。后遇水镜先生，得其点拨，方知伏龙、凤雏。刘备访伏龙、凤雏未果，却得徐庶，并用其大败曹仁。曹操以徐庶之母为要挟将其逼至许都。徐庶辞别之前向刘备举荐了南阳诸葛亮，此人便是伏龙。刘备与关、张前往南阳隆中请诸葛亮出山。前两次都扑了空。第三次去时正遇诸葛亮昼寝未起，张飞忍无可忍，怒气大发，要放火烧房，被关羽劝阻。刘备等了一个时辰，诸葛亮醒来，又去后堂更衣，半晌才出。刘备诚心向诸葛亮求教，诸葛亮为刘备礼贤下士之举所感动，随为刘备分析天下大势，道破天时、地利、人和之玄机，并以据蜀、联吴抗曹三分天下之策教之，最终出山辅佐刘备。
建安十三年七月，刘表新死，曹操率军五十万南征荆州，刘表次子刘琮袭职，降了曹操。曹操攻刘备，刘备不愿诱杀刘琮以夺取荆州，弃新野而移兵樊城。后又弃樊城往襄阳撤退，百姓随其同行。众人劝刘备弃民先行，刘备不肯。来到襄阳城下，刘琮拒绝刘备入城，刘备无法只好前往江陵。行进途中，曹军杀来，冲散了刘备队伍，赵云七进七出救下阿斗，张飞在长坂桥断后。张飞叫随从的二十余个骑兵在马尾上拴上树枝，往来奔跑，冲起尘雾，使曹军莫知虚实而不敢轻进。张飞立马桥头，面对桥西的曹军，发出三声巨雷般的大吼，吓死了夏侯杰，一时乱了曹军阵脚。曹操只得急令退兵，使得刘备在关羽、诸葛亮的接应下退入江夏。
这时，东吴也密切注视曹军动向，孙权亲率人马驻守柴桑。为联吴抗曹，诸葛亮前往柴桑游说孙权，舌战群儒，晓以利害，终于促成了孙刘联盟。孙权令周瑜领兵抗曹。周瑜率兵往夏口，刘备移兵樊口，共拒曹操。周瑜嫉恨诸葛亮才华不能为吴所用，先派诸葛瑾劝说诸葛亮事吴，不成，即起心暗害。诸葛亮以大局为重请鲁肃劝告周瑜共同对付曹操，不要相互谋害。周瑜在三江口初败曹军，曹操派蒋干劝周瑜投降。周瑜设下群英会款待这位旧友，大谈东吴兵强粮足的情况，让蒋干无法陈述劝降之意。晚上，周瑜又邀蒋干入帐共寝，故意将假造的曹操水军都督私通东吴的信件让蒋干得知。蒋干中计，回去报告曹操，杀了深得水军之妙的水军都督蔡瑁和张允，除去了水路进攻的一大障碍。随即，周瑜又派庞统去曹营献计，曹操误纳了庞统的连环计，将战船以铁链相连。这年冬天，吴蜀联军准备就绪，决定采用火攻之策。而曹操则在战船上置酒设乐，大会诸将，持朔赋诗。谋士们一再提醒防范吴军火攻，曹操皆不以为意，以为东吴缺少火攻所必须的东南风。然而，诸葛亮算准天时，准确预见了东南风的出现。伴随大风刮起，诈降的黄盖冲来火船，曹操被张辽救上小船，得以逃脱，此时军营、战船火焰腾空，曹军大势已去。曹操急率人马撤退，在奔往乌林的路上，被吕蒙追杀；在去合肥的路上又被太史慈、陆逊伏击；在往彞陵逃命时，又先后被赵云、张飞冲杀，曹操被杀得胆战心惊。待惊魂稍定之后，曹操望华容道逃奔，见此处并无伏兵，不禁大笑道 “人人都说周瑜、诸葛亮足智多谋，依我看来，到底是无能之辈。如在此处埋伏军队我等就只好束手被擒了！”话未说完，一声炮响，两边五百校刀手摆开，关羽跨赤兔马，提青龙刀，拦住去路。曹操见是关羽，拱手告道 “曹操兵败势危，到此无路，望将军以昔日之情为重！”关羽听了曹操哀告，又见曹军将士惊惊惶惶，哭拜于地，越发心中不忍，于是勒马回头，令众军四面散开，放了曹操一条生路。曹操败归许都，令曹仁驻守荆州。周瑜攻曹仁，被伏兵射中左肋。刘备众将则先后攻下南郡、襄阳、荆州，并招降了黄忠、魏延诸将。至此，刘备占据荆州。
建安十四年秋，孙权派鲁肃来讨荆州。刘备、诸葛亮答应取得西川后归还。当时，刘备的甘、糜二夫人已相继去世。周瑜出以招亲之计，想借此囚禁刘备索讨荆州。赵云陪同刘备往南徐同孙权之妹孙夫人成了亲，随后又依诸葛亮之计，让孙夫人陪同刘备去江边祭祀，趁机逃回荆州。周瑜大怒，决心要取荆州，他骗刘备，说愿代取西川以换荆州。诸葛亮将计就计，大败周瑜。结果周瑜终因不能取荆州而气死。孙权任鲁肃为都督，总领兵马；庞统弃吴投奔刘备，被用为副军师。
刘备以助刘璋协防汉中张鲁为名进兵西川，然则出师不利折了庞统。诸葛亮从荆州起兵增援，临行嘱托关羽东联孙权、北拒曹操，关羽不以为然。入川途中，张飞所向劈泥，义释严颜，打开了西川的门户，不久，刘备攻入西川，占领成都，领益州牧。孙权向关羽索还荆州，关羽拒绝。孙权决定攻打荆州，但因闻知曹操要攻东吴，才未发兵。当曹操准备出兵之时，献帝与伏皇后密议，准备诛杀曹操。事泄，伏皇后三族被灭，举国震惊。
建安二十一年，曹操晋封魏王，在邺郡建造魏王宫。
刘备为保西川，出兵攻打汉中。老将黄忠从法正计斩夏侯渊于定军山。建安二十四年，汉中被攻克，刘备自立为汉中王，诸葛亮为军师，关羽、张飞、赵云、马超、黄忠为五虎大将。曹操大怒，要取汉中。司马懿献计，劝曹操联合东吴攻取荆州以打击刘备，曹操采纳。于是孙权以吕蒙为大都督，同曹军合击关羽，关羽被射伤。华佗为关羽刮骨疗毒。治伤之后，关羽水淹七军攻取樊城，不料吕蒙却乘虚白衣渡江夜袭荆州。关羽率军往夺荆州，但士卒皆无战心，关羽大败，退守麦城。孙权派诸葛瑾劝降，关羽不从，弃麦城往西川撤退，路遇伏兵，关羽被擒。孙权斩了关羽首级，派人送与曹操。曹操厚葬关羽于洛阳，追封荆王。
建安二十五年，曹操病死，曹丕继位。十月，曹丕逼献帝退位，封献帝为山阳公，自称大魏皇帝。
建安二十六年四月，刘备称帝于成都，改年号为章武元年。七月，为报关羽被害之仇率兵七十万攻东吴。张飞此时因鞭打部将，被部将杀死，割首级献东吴。刘备葬过张飞，屯于白帝城督战。孙权派诸葛瑾往说刘备，望重结吴蜀联盟，共同对付曹丕，刘备不允。蜀军从巫峡建平起，直至彝陵界口，七百余里结连四十余寨，进攻东吴。黄忠中箭身亡。刘备攻猇亭，剐东吴降将。孙权任陆逊为大都督拒刘备。陆逊坚守不战，等待时机。刘备求战不得，移寨于山谷树林中避暑。陆逊趁蜀军人疲意困之时，夜里借东南风放火，尽烧连营七百里的蜀军。刘备败走，被赵云救入白帝城。陆逊紧追，误入诸葛亮所遗石阵，方知天外有天。此时，曹丕派兵袭击东吴，陆逊退兵。
蜀汉章武三年，刘备在白帝城染病不起。诸葛亮赶来，刘备托以后事，并作出诸葛亮可取刘禅而代之的遗嘱。四月，刘备病逝，诸葛亮立刘禅为帝，是为后主，并感刘备知遇之恩全力辅佐幼主。
刘备死后，曹丕用司马懿之计，联合南蛮孟获、东吴孙权进攻蜀汉。诸葛亮击退了来犯之敌，派邓芝结好东吴，自此吴蜀通好，息了刀兵。曹丕退回许昌，任司马懿为尚书。诸葛亮率军50万南征孟获，采纳马谡心战为上、兵战为下的建议，七擒七纵孟获，以德服人，使蜀汉后方得以稳定。
蜀后主建兴四年，曹丕病死，儿子曹睿即位，任司马懿为骠骑大将军。诸葛亮采用马谡之离间计，令其散布司马懿谋反的流言，使司马懿被削职回乡。诸葛亮乘此机会，发兵汉中。蜀军一出祁山，直抵渭水，长安告急。曹睿见势不妙，启用司马懿任平西都督，令其拒守长安。司马懿老谋深算，上任之后，即夺新城，斩了私通蜀汉的孟达，乘势直逼汉中咽喉的街亭和列柳城。马谡自告奋勇往守街亭，但他不听王平劝告，执意在山上林木深处下寨。司马懿率兵围山，断其水源，蜀兵大败，街亭失守，随即司马懿又攻下列柳城。诸葛亮闻讯，迅速安排退兵之计。但此时司马懿已逼近诸葛亮所驻守的西城。眼见城中仅二千五百名老弱残兵，退、守两难，诸葛亮料定司马懿会认为自己平生谨慎，不会冒险，于是大开城门，让老军扮作老百姓洒扫街道，自己则在城楼上凭栏而坐，焚香弹琴。司马懿赶来，满腹狐疑，惧有伏兵，急令撤退。当撤到武功山小路时，又遇诸葛亮事先布置的兵士大喊大叫，吓得魏军不敢久停，只得尽弃辎重而逃。西城解围后，诸葛亮退回汉中。司马懿中计后，叹道 “吾不如孔明也！”为正军法，诸葛亮挥泪斩马谡，并向后主上表自贬，以右将军行丞相事。此后，诸葛亮又四出祁山，但都未取得进展。这期间，孙权在武昌南郊筑坛登帝位，后定都建业。
建兴十二年，诸葛亮六出祁山，司马懿兵屯渭水相拒。诸葛亮在上方谷造木牛流马运送粮草，司马懿依样仿造中计，被蜀军劫去。诸葛亮以木牛流马诱司马懿入上方谷，雷炸火烧曹军。突遇大雨，火灭雷哑，司马懿父子才死里逃生。司马懿受挫后坚守不战，诸葛亮派使者送去巾帼、妇人缟素之服以及书信，以激他出战。司马懿看罢来信，心中大怒，但却装出笑脸，说到 “孔明看我像妇人吧！”接受了衣物，并厚待使者，向使者打听诸葛亮的饮食起居。听了使者话后，司马懿心内盘算 诸葛亮食少事烦，看来活的日子不会长久。于是越加坚守不出，静观事态发展。诸葛亮强支病体处理军务，积劳成疾，吐血不止。他知命不久长，遂授兵书于姜维。八月，病逝于五丈原军中，是年54岁。姜维遵照诸葛亮遗嘱，以木雕为诸葛亮像坐于车中，从五丈原徐徐退兵。司马懿追兵至，姜维推出诸葛亮木像，司马懿吓得急令后退，被蜀军乘势猛攻，曹军大败。司马懿退兵。蜀汉全国举哀，葬诸葛亮于定军山。
诸葛亮死后，蜀后主刘禅宠信宦官，不理朝政，国势日趋衰微。魏景元四年，司马昭令钟会、邓艾伐蜀，刘禅投降，被封为安乐公，蜀汉灭亡。魏自曹睿死后，大权先被司马懿控制，后又被司马懿之子司马师、司马昭所掌握。魏咸熙二年，司马昭之子司马炎代魏而自称晋帝，魏灭亡。晋建国后，于咸宁六年灭了东吴，自此三国时代结束，晋帝司马炎统一天下。
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